// A hivatkozott ábrák a cikkben találhatóak, lsd. Nagy eltérések elmélete 0.

A nagy eltérések elmélete ritka események előfordulásának kutatásával, azok valószínűségének modellezésével foglalkozik. Itt jellemzően nem olyan ritka eseményekre kell gondolni, mint egy földrengés vagy tözsdei események, napkitörések előrejelzése: a nagy eltérések elméletének célja nem idősorok előrejelzése, hanem különböző hosszú-farkú eloszlásfüggvények farkának vizsgálata.

Egy viszonylag egyszerű hosszú-farkú eloszlás a binomiális eloszlás. Ennek gyakorlati előfordulása a pénzfeldobás. Ha egy szabályos érmét n-alkalommal feldobunk, akkor annak a valószínűsége, hogy a dobások során átlagosan 0<=k<=1 fejet kapjunk, binomiális eloszlás szerint alakul.

Hol a nagy eltérés? A pénzfeldobásos példában a nagy eltérés a várható érték (szabályos érme esetén 0.5) és egy konkrét kisérlet során n dobás átlagaként kapott M érték között fordulhat elő. A dobássorozatok nagy részében M a nagy számok törvénye alapján közel lesz 0.5-höz, de valamilyen valószínűséggel előfordul, hogy M nagyobb lesz tetszőleges 0.5<x<1-nél.

Ha annak a valószínűségnek a logaritmusát akarjuk ábrázolni n függvényében, hogy M nagyobb, mint valamilyen választott x, akkor egy zajos lineárisan csökkenő függvényt fogunk kapni (Figure 2.). A görbe meredeksége x értékétől függően természetesen változik (Figure 3.).

Ha a görbe meredekségét x függvényében ábrázoljuk, akkor egy nevezetes függvényt, a ráta-függvényt kapjuk (Figure 4.). Pénzfeldobás esetén megfigyelhető, hogy a farok eltűnésének mértéke n-szerint exponenciálisan csökken a farok definíciójának (x értékének) függvényében. Tehát a farok-definíció megválasztásának függvényében exponenciálisan csökken annak a mértéke, hogy a kísérletek számosságának függvényében hogyan csökken a farok súlya.
 

A nagy eltérések elméletének célja, hogy különböző esetekre meghatározza a ráta-függvényt. A pénzfeldobás esetén a grafikusan ábrázolt ráta-függvény megegyezik az x*ln(x) + (1-x)*ln(1-x)+ln(2) függvénnyel, erre a cikk a mellékletben szimbolikus bizonyítást is ad.

Összességében tehát elmondható, hogy a farok súlya exponenciálisan csökken n függvényében (Figure 2.) és a csökkenés mértéke szintén kvázi exponenciálisan (lsd fentebb I(x) definíciójában) függ a farok hosszának (x) megválasztásától.

A cikk ezek alapján levezeti a nagy számok gyenge törvényét a nagy eltérések elméletének alapjából.

A bejegyzés trackback címe:

Kommentek:

A hozzászólások a vonatkozó jogszabályok  értelmében felhasználói tartalomnak minősülnek, értük a szolgáltatás technikai  üzemeltetője semmilyen felelősséget nem vállal, azokat nem ellenőrzi. Kifogás esetén forduljon a blog szerkesztőjéhez. Részletek a  Felhasználási feltételekben és az adatvédelmi tájékoztatóban.